Les maths et moi on a jamais été potes, mais là...
Salut les chouals, j'ai un soucis avec un bordel mathématique qu'on m'a expliqué au lycée mais qui ne fait pas sens pour moi, quand bien même je comprends l'explication donnée j'ai beaucoup de mal à l'accepter sans plus de précision.
La chose se présente ainsi, on fait deux points puis on trace une droite entre les deux.
On sépare la droite en deux pile au milieu et on efface un des côtés en gardant le point.
Là on a donc une droite de la moitié de la longueur initiale, bien. Maintenant on prends la moitié de cette droite pour l'allonger. Puis la moitié de l'ajout pour continuer d'avancer le trait, toujours en direction du point désormais seul.
Ce qu'on m'a dit c'est si on répète sans cesse jusqu'à l'infini de prendre la moitié de ce qu'on a précédemment ajouté pour poursuivre le trait alors on n'atteint jamais le point. Jamais.
Mon nœud au cerveau se situe là : Ce qu'on ajoute ne pouvant pas être nul ou négatif, alors comment en répétant la chose à l'infini on n'arrive pas à rejoindre le point ?
Depuis des années j'y pense et ça ne me quitte pas, quelqu'un peut éclairer ma lanterne ?
J'ai pas tout lu vu l'heure mais une droite est infinie donc elle n'a pas de moitié, tu parles peut-être d'un segment?
@Dimhell: C'est exactement ce que j'allais répondre merci de remettre les termes corrects, si déjà l'énoncé est foireux la suite risque de pas être terrible
Je vois pas ce que tu comprend pas , prend le avec des chiffre.
Si tu as 10 cm , tu en prend la moitié , tu avance de 5 , donc tu as parcouru 5 cm/ 10
Du coup tu redivise par deux tu fait 2,5 de plus donc 7,5
Puis 8.75
Puis 9.375
Quoi qu'il arrive tu te rapprochera de 10 , avec une infinité de chiffre après la virgule mais tu arrivera jamais a 10.
On arrive jamais à ce point car peut importe la distance qu'il te reste à parcourir pour aller à ce point, tu n'avancera que de la moitié de cette distance. Donc techniquement tu avances toujours mais au fur et à mesure de moins en moins, donc tu n'attendras jamais le point.
@Zargo: le principe des limites infinies, par exemple dans le même délire, la limite en l'infini de 1/x, c'est 0 mais il n'existe aucune valeur de x telle que 1/x = 0
je vais t'embrouiller plus alors car une droite c'est infini dans le vocabulaire mathématique, toi tu parle de segment
(je sais je n'apporte rien mais d'autre on bien répondu a ma place )
"Ce qu'on ajoute ne pouvant pas être nul ou négatif, alors comment en répétant la chose à l'infini on n'arrive pas à rejoindre le point ?"
si par définition tu répètes à l'infini, c'est que tu peux toujours le faire.
L'idée est qu'en faisant ainsi tu vas toujours réduire l'écart entre le point et ton segment, mais qu'au bout d'un moment il sera "infiniment petit".
En théorie (si je ne me trompe pas) mathématiquement ça se représente comme ça :
A et B sont tes 2 points
Le segment [AB] mesure 1
Soit la fonction f(x)= SOMME(1/2^i pour i allant de 1 à x)
Alors si
x tend vers +infini
f(x) tend vers 1
Donc (si mes souvenirs sont bons), la théorie dit que "ça se rejoins, à +infini".
Tout comme 1/x tendrais vers 0 (pourtant on sait qu'on aura jamais 0).
Après "physiquement" tu peux voir le problème à l'envers.
Imagine que ton segment c'est une corde. Tu la coupe en deux, puis encore en deux, puis encore, ... en considérant que tu peux le faire à l'infini.
On est d'accord que vu que tu la coupe >en deux< il t'en restera toujours un morceau ? Bah dans ton problème la moitié qui reste, à couper c'est la moitié qu'il te reste à parcourir (je sais pas si c'est plus clair comme ça)
Car tu as une infinité de décimale ?
Je vois très bien mais je ne suis pas sûr de comment le démontrer / expliquer.
Pour comprendre, tu peux t'aider des "limites" vues au lycée. En gros, quand tu vas t'approcher du point, la longueur de ton segment va "stagner". On appelle ça la convergence. C'est un phénomène tout a fait normal et que l'on rencontre tous les jours : la vitesse maximale que peut atteindre ta voiture, la chute d'un objet, la lumière d'une ampoule qui subit une surtension, etc).
"Répéter quelque chose à l'infini" ne veut pas dire que l'on peut atteindre un maximal absolue, on s'en approche jusqu'à ce qu'on dise que c'est quasiment égal. D'ailleurs, discussions de comptoir, il existe des théories qui tendent à dire qu'un nombre "extrêmement similaire à un autre" serait simplement son égal.
On peut aussi arriver à un cas d'école concernant les suites et les séries (https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_(math%C3%A9matiques)), pour sum((n/2)^i) avec n étant la longueur initiale de ton segment et i commençant à 1.
Alors ça ne répond pas exactement à la question que tu te poses mais dans cette vidéo de El-jj il traite un problème dans le même genre et je suis sûr que ça va te donner des pistes de réflexions.
https://youtu.be/L1vDkUziBpw
Si tu veux creuser un peu plus il y a science4all qui a fait toute une série sur les nombres infinis et dont la deuxième vidéo traite encore de ce genre de paradoxe
https://youtu.be/9i8JbISAh-U
Parce que l'écart devient infiniment petit mais jamais nul. 0,0000001 cm ça restera toujours plus que 0,0000000001 cm... Pour un humain, ce premier nombre est déjà plus ou moins difficile à visualiser, mais les maths sont heureusement plus précises et exigeantes que ce que peut visualiser l'esprit humain.
C'est théorique, tu peux toujours diviser la distance restante par de deux...
C'est quoi qui paraît compliqué ?
Tout simplement : si à chaque fois tu fais la moitié de la distance qu'il te reste à faire, tu laisseras toujours l'autre moitié à faire pour la fois d'après, donc tu n'attendras jamais le but.
Est-ce que ça t'explique mieux ?
Tu veux aller à un point précis, et tu fais toujours que la moitié de la distance qui t'en sépare, donc même si tu te rapproches tu as toujours la moitié de la distance qu'il te restait à couvrir à l'instant d'avant à faire. Donc tu auras toujours un espace entre toi et le point. C'est juste qu'au bout d'un moment tu es à une échelle infiniment petite.
En fait... tu as raison, n'en déplaise à ce que t'on dit tes profs de maths (qui ne voulaient peut-être pas vous embrouiller tout simplement, même si pour toi ça a eu l'effet inverse).
Supposons que le segment initial fasse une longueur de 1 (cm, m, ce que tu veux comme unité).
Maintenant, lorsque tu en prends la moitié pour commencer cet exercice, ça te fait 1/2. Donc tu prends la moitié de 1/2, soit 1/4, et tu les sommes : 1/2+1/4=3/4. Maintenant, la moitié de 1/4, soit 1/8, et tu rajoutes cela au tout : 3/4+1/8=7/8. Tu peux continuer cette opération indéfiniment. Intuitivement, tu veux faire :
(1/2)+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+...
Jusqu'à l'infini. Et il se trouve qu'une formule pour calculer précisément cette somme infinie existe en maths - elle vient de la formule qui généralise les identités remarquables du type (a-b)(a+b), et se démontre facilement par récurrence. Voilà sa forme générale :
Somme de n=1 à n=+infini de q^k = q/(1-q)
Avec q la longueur de l'arête initiale dans notre cas, soit q=1/2 - de manière générale, ce nombre s'appelle la "raison géométrique", pour la culture g. Dans notre cas, où q=1/2, la somme infinie nous donne comme résultat :
Somme infinie = (1/2)/(1-(1/2))=(1/2)/(1/2)=1
On a bien trouvé 1, soit la longueur initiale du segment, ce qui nous confirme qu'après un nombre infini d'étapes, on retombe bien sur la segment initial entier, et donc qu'on rejoint le point effacé !
Voilà voilà, si tu veux d'autres précisions, n'hésites pas :)!
Prend du concret: imagine que ton patron te paye 1000€ par mois, mais que toi, tu veuilles une augmentation pour gagner le double: soit 1000€ de plus pour gagner 2000€, sauf qu'il ne veut pas t'augmenter de 1000€, mais il veut bien t'augmenter de la moitié de ce que tu lui demandes: 500€. Tu reviens le voir quand tu gagnes 1500€, pour la même demande: gagner 2000€ (donc être augmenté de 500€)et il te réponds pareil: je ne te donne que la moitié: soit 250€. Tu gagnes donc 1750€, et tu reviens le voir, toujours pareil, pour être augmenté jusqu'à 2000€, (donc être augmenté de 250€) et il te réponds, toujours pareil, qu'il ne te donneras jamais l'augmentation que tu vises mais toujours la moitié, donc 125€. Tu gagnes donc 1875€, mais tu auras beau lui demander, et il aura beau t'augmenter à chaque fois de la moitié de ce dont tu as besoin, tu n'arriveras jamais à gagner 2000€.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_d%27Achille_et_de_la_tortue
Tes profs sont juste des quiches.
ta droite ne touchera jamais ton point car elle ne fait (toujours) que la moitié du chemin. Voilà
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