Les maths pour les nuls (2)
J'aime les paradoxes. Les meilleurs sont certainement ceux les plus simples à comprendre. Je vous propose aujourd'hui le paradoxe de l'interro surprise qui a ceci de savoureux qu'il est compréhensible par chacun et ne nécessite aucun calcul.
Un vendredi, un professeur annonce à ses élèves avec qui il a cours chaque jour de la semaine :
- "Le semaine prochaine, vous aurez un contrôle surprise".
Souvent, le talon d'Achille d'un paradoxe est l'imprécision de son énoncé, ce qui est un peu naze. Définissons donc précisément l'interro surprise : c'est un contrôle qui aura lieu un jour de la semaine, et en se levant le matin dudit jour, aucun élève ne peut affirmer avec certitude : "il aura lieu aujourd'hui".
A priori, aucun paradoxe. Vous avez déjà vécu la situation des dizaines de fois et avez fait caca mou toute la semaine.
Mais le prof peut-il mettre l'interro le vendredi ? Clairement pas. S'il faisait ça, le jeudi soir, les élèves seraient certains qu'il aurait lieu le lendemain. Ainsi, il ne tiendrait pas sa promesse de "contrôle surprise".
Peut-il alors mettre le contrôle le jeudi ? Arrivés au mercredi soir. Les élèves savent que le prof ne peut pas les interroger le vendredi, puisque le vendredi ne peut pas être une surprise. Ils savent donc que le contrôle aura lieu le jeudi. Pas de surprise.
Le mercredi alors ? Même problème, arrivés au mardi soir, sachant qu'on ne peut les surprendre les jeudi et vendredi, les élèves sauront que ce sera forcément mercredi.
Par récurrence, on déduit qu'il est impossible de surprendre les élèves. Sapristille !
Pourtant, si le prof colle bêtement le contrôle le mardi par exemple, personne ne l'aura vu venir.
____________________
On peut classer les paradoxes en deux catégories : les vrais et les fallacieux.
Dans un vrai paradoxe, on applique un raisonnement correct et on arrive à une contradiction logique. Le plus célèbre est le paradoxe du menteur. La phrase "Cette phrase est fausse" ne peut être ni vraie ni fausse. Ce qui est rassurant, c'est qu'on ne peut jamais rencontrer de telle situation dans la vraie vie.
Les autres paradoxes, ceux qu'on peut rencontrer dans la vie réelle, sont toujours fallacieux. Parfois, ce qui cloche est obvious. Genre dans le paradoxe du tas de sable : "Si je retire un grain de sable à un tas de sable, ça reste un tas de sable". C'est vrai. Mais si on le fait un nombre énorme de fois, on n'a plus un tas. La faiblesse est évidente : la définition d'un tas est imprécise.
Qu'en est-il de notre interro surprise ? Beaucoup le classent dans la catégorie des faux paradoxes. Certains remettent en cause la notion de surprise, arguant qu'on ne peut pas faire une surprise si on l'a annoncée. Je ne suis pas convaincu, sachant qu'on a bien défini la surprise. D'autres jouent sur la non-sincérité du prof. L'opposition la plus convaincante selon moi est de dire que le problème est différent chaque jour, et qu'on ne peut pas utiliser le mercredi soir un raisonnement qu'on ferait le jeudi soir. Car il serait le raisonnement d'un problème différent.
Je vous laisse vous faire votre propre idée !
Après vous être cassé le cerveau sur ce paradoxe il existe une réponse formelle le résolvant (proposée par un logicien dans les années 90), et Mr Phi en a fait deux vidéos (9 minutes chacune). C'est très clair et je recommande vivement.
https://youtu.be/8SOGL5abq1Y
ET
https://youtu.be/ska8cx379XA
@CerealeKiller: Fantastique. Le mec est limpide, super pédagogue. Il transforme très bien le problème avec les cartes (ça devient plus palpable encore). Et il a totalement raison de retirer le mot surprise de l'énoncé. Il apporte une confusion inutile.
Merci pour les vidéos.
@Nolyk: Avec plaisir, toute sa chaine est de qualité supérieure pour peu qu'on s'intéresse un minimum à la philosophie ou plus généralement ce genre de questions défiant l'intuition
C'est le même principe que le paradoxe du prisonnier et je suis d'accord avec toi. Pour moi ce n'est pas un paradoxe, enfaite le problème vient de la réflexion qui nous est posée, qui semble logique mais qui est faussée. Je sais pas si ça à un nom mais j'appelle ça "la pensé récursive" (enfaite ça me fait penser au fonction récursive en informatique), ou le résultat d'un premier niveau de réflexion reviens comme entré du second niveau de réflexion et faire remonté tout le résonnement au premier niveau. Pour moi ce mode de réflexion ne marche que dans certain cas précis (comme en informatique encore une fois) et là manifestement on est dans un cas ou ça ne fonctionne pas, la preuve étant que ça semble révéler un paradoxe.
Pour moi ce n'est pas un paradoxe, c'est la façon de réfléchir le problème qui est juste fausse.
@Barometre: Tout à fait. En maths, on l'appelle raisonnement par récurrence. Et il est totalement valide. On montre qu'une proposition est vraie pour la première étape. Puis que si elle est vraie pour une étape quelconque, elle l'est pour la suivante. On a prouvé qu'elle est vraie pour toutes les étapes.
Dans le cas du tas de sable, ce n'est pas le raisonnement par récurrence qui est faux. C'est la proposition initiale, la première étape. "Si on retire un grain de sable à un tas, c'est toujours un tas". Ce n'est pas vrai, ou du moins ça ne veut pas dire grand chose tant que "tas" n'est pas défini.
Dans le cas de l'interro surprise, il semble abusif de raisonner par récurrence car à chaque étape, le problème est différent.
Je trouve que dire "Il y aura une interro surprise la semaine prochaine" est paradoxal en soi.
Si tu annonces qu'il y aura une surprise, la surprise disparaît, car il n'y a plus d'effet de surprise.
C'est comme les Kinder surprise. Il n'y a pas de surprise, il y a juste un jouet dans le chocolat. La véritable question restante étant : c'est quel jouet ?
L'interro surprise, cest juste un moyen pour le prof de faire réviser tous les cours aux élèves, parce qu'ils ne savent pas sur quel cours en particulier portera l'interro.
Du coup, pour moi, le jour de l'interro ne joue un rôle que sur le stress des élèves.
Morale de l'histoire : les interros surprises, c'est de la révision stressante.
@Indy: C'est effectivement une des oppositions au paradoxe. Mais j'avoue ne pas la comprendre. "Surprise" n'est qu'un mot. Si on le définit comme "Incertitude que le contrôle aura lieu aujourd'hui", on peut bien créer une surprise, non ?
@Nolyk: Je dirais plus que la surprise est une émotion incontrôlée. A partir du moment où tu sais qu'il y a une surprise, l'émotion est réduite à néant, et donc il n'y a plus de réelle surprise.
@Indy: Le mot surprise fout la merde. J'aurais dû formuler l'énoncé sans l'utiliser, comme le fait le narrateur de la très bonne vidéo postée par CerealeKiller ci-dessus.
@Indy: putain si t'as déjà du mal avec le stress que te génère une interro, ne rentre jamais dans la vie active !
Si tu t'attends pas à avoir la surprise le jeudi ou vendredi mais que je la mets quand même le vendredi, ça reste une surprise ?
@BarbaraGourde: Je serai surpris le jeudi de ne pas avoir eu le contrôle.
Mais le vendredi matin, je saurai pertinemment que ce sera ce jour-là. Et comme on définit le contrôle surprise comme "contrôle dont on ne pouvait pas être sûr à 100 % au matin qu'il aurait lieu dans la journée", il n'y a pas de contrôle surprise.
@Nolyk: Peut être mais tu aura eu les miquettes tous les autres jours de la semaine et j'aurai réussi à te faire réviser cette matière presque tous les soirs, et ça c'est une surprise !
Tu ne dois accéder à ce site que si tu as au moins 18 ans ou si tu as l'âge légal pour visionner ce type de matériel dans ta juridiction locale, l’âge le plus élevé étant retenu. En outre, tu déclares et garantis que tu ne permettras aucun mineur à d'accéder à ce site ou à ces services.
En accédant à ce site, tu acceptes nos conditions d'utilisation.