Problème Maths - Fonctions
Avè les Chouals,
Notre prof DarkFaust a l'air d'être parti en vacances, alors comme la dernière fois, je fais appel à toute la communauté pour résoudre ce problème.
J'étais déjà un peu une quiche à l'époque en maths et ces cours date d'il y a plus de 15 piges alors autant dire que j'suis vraiment à la rue aujourd'hui.
Voici l'exercice:
Une entreprise fabrique un produit. Pour une période donnée, le coût total de production , en euros, est donné en fonction du nombre "q" d'articles fabriqués par: C(q)=2q²+10q+900 pour 0<q<80. Tous les articles fabriqués sont vendus; la recette totale en euros est donnée par R(q)=120q.
1 - Vérifier que le bénéfice total est donné par :
B(q)= -2(q²-55q+450 = -2(q-10)(q-45)
2 - Pour quels nombres d'articles produits la production est-elle rentable? (Faire un tableau de signes)
Vous avez une heure! Merci d'avance à vous les matheux!
B(q) = R(q)-C(q)= 120q - (2q²+10q+900) = -2(-60q + q² + 5q + 450) = -2(q² - 55q + 450)
On factorise est on obtient -2(q-10)(q-45)
1/ Bénéf = Recette - coup de production
= -2q² + 110 q + 900 = égal à ce qui est marqué, c'est juste de la manipulation de facteur (#vampitruc)
2/ dérivé(bénef) = -4q + 110 , c'est nul pour 27
il en faut 27 pour un max de rentabilité.
Si tu utilises ton cerveau, logiquement on peut déterminer à quelle valeur il faut s'attendre :
Si q est entre [0;10[ -> (q-10)(q-45) > 0 donc B(q) < 0 Tu perd $$
Si q est entre ]10;45[ -> (q-10)(q-45) <0 donc B(q) > 0 Tu gagnes $$
Si q est entre ]45;80] -> (q-10)(q-45) >0 donc B(q) <0 -> Tu perd $$
Donc la solution doit forcément entre 10 et 45 !
Après au niveau formel, le max de bénéfices se traduit en français par :
Le point tel qu'avant on"tendait" à encore gagner de l'argent et qu'après on tend à en gagner moins -> ceci équivaut à une tangente horizontale de la dérivée de la fonction :
On calcule alors B'(q) = [-2(q-10)(q-45)] ' = [-2(q²-55q+450] ' = -2(2q-55)
Si t'as bien compris on cherche les variations de B(q) donc le signe de la dérivée B'(q) pour tout q.
B'(q) =0 <=> -2(2q-55) = 0
B'(q) =0 <=> (2q-55) = 0
B'(q) =0 <=> 2q = 55
B'(q) =0 <=> q = 55/2 = 27,5
Ton tableau de signe est simplement :
Pour q< 55/2 -> B'(q) >0 (ie B(q) croissant) et pour q > 55/2 B'q) < 0 (ie B(q) décroissant)
On trouve bien un résultat qui est logique avec notre analyse grossière du début ! (rassurant)
Le bénéfice max est alors B(q=55/2) = -2*(27,5-10)(27,5-45) = 612,5 €€€€€€€€€€€€
EDIT : Du coup pour répondre à la question : Pour q entre 10 et 45 du gagnes des $$ avec un max à q=55/2
La bise !
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